Esteban Valverde a étudié la clarinette au Conservatoire Supérieur de Musique de Vigo. Il a terminé ses études avec la mention d'honneur. Puis il s'est perfectionné avec Danny Granados, Antonio Saiote et Alois Brandhofer à New York, Porto et Salzbourg. Il a obtenu son doctorat à l'Université de Vigo.
Depuis 1992, il enseigne la clarinette aux Conservatoires Professionnels de Pontevedra, Ourense et Vigo, où il a été directeur de 2003 à 2015. Il a aussi été conseiller du Conseil de l'éducation du Gouvernement de la Galice de 2008 à 2011.
Depuis 2015, il est directeur et professeur de clarinette au Conservatoire Supérieur de Musique de Vigo.
Esteban Valverde a joué avec plusieurs orchestres espagnols comme le Malaga Sinfonic Orchestra et le Barcelona Orchestra. Il a joué dans plusieurs pays d'Europe et a collaboré avec plusieurs institutions en donnant master classes de clarinette. Il est professeur honoris causa à l'Académie nationale de musique d'Ukraine (Kiev).
Esteban Valverde est président de l'association espagnole de clarinette depuis 2017.
Il joue les clarinettes Henri SELMER Paris Privilège.
